ガロア理論における多項式のガロア群の決定と有限体への還元

補題 2.1 の証明

$f(X)$ の $\mathbb{C}$ における根の集合を $\Omega = \{ \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_p \}$ とおく。ガロア群 $G$ は根の集合 $\Omega$ の置換群として忠実に作用するため、対称群 $S_p$ の部分群 $G \subset S_p$ と見なすことができる。

$f(X)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約であるから、ガロア理論の基本定理より $G$ は $\Omega$ 上に推移的 (transitive) に作用する。軌道・安定化群の定理より、$G$ の位数 $|G|$ は根の個数 $|\Omega| = p$ で割り切れる。ここでコーシーの定理 (Cauchy's theorem) を群 $G$ に適用すると、$G$ は位数 $p$ の元をもつことがわかる。対称群 $S_p$ における位数 $p$ の元は $p$ 次巡回置換のみであるから、$G$ はある $p$ 次巡回置換を含む。

一方、仮定より $f(X)$ はちょうど $2$ 個の虚根をもつ。これらを互いに複素共役な $\alpha_1, \alpha_2$ とし、残りの $p-2$ 個の実根を $\alpha_3, \dots, \alpha_p$ とする。複素共役をとる自己同型を $\tau$ とすると、$\tau$ は $\mathbb{C}$ の自己同型であり、$f(X)$ の係数が実数（有理数）であることから、根の集合 $\Omega$ を $\Omega$ に写す。したがって $\tau \in G$ である。

この $\tau$ の $\Omega$ 上の作用を考えると、実根 $\alpha_3, \dots, \alpha_p$ をすべて固定し、虚根 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のみを入れ替える。すなわち、$\tau$ は $\Omega$ 上で互換 $(1 \; 2)$ として作用している。

群論の基本的な事実として、対称群 $S_p$ (ただし $p$ は素数) において、$p$ 次巡回置換と $1$ つの互換をともに含む部分群は、$S_p$ 全体に一致することが知られている。したがって、$G = S_p$ である。

証明

アイゼンシュタインの既約性判定法 (Eisenstein's criterion) を素数 $p=3$ に対して適用する。定数項 $3$ は $3$ で割り切れ $3^2=9$ で割り切れない。$1$ 次の係数 $3$ は $3$ で割り切れる。最高次 $X^3$ の係数 $1$ は $3$ で割り切れない。したがって、$f(X)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

実変数 $X$ の関数として $f(X)$ の増減を調べる。導関数は $f'(X) = 3X^2+3$ であり、すべての実数 $X$ に対して $f'(X) > 0$ となる。ゆえに $f(X)$ は単調増加関数である。また、$\lim_{X \to -\infty} f(X) = -\infty$ および $\lim_{X \to \infty} f(X) = \infty$ であるから、中間値の定理より $f(X) = 0$ は実数解をただ $1$ つもつ。

$f(X)$ の次数は素数 $3$ であり、実根をちょうど $3-2=1$ 個もつため、残りの $2$ 根は虚根である。補題 2.1 より、$f(X)$ のガロア群は $S_3$ に同型である。

証明

アイゼンシュタインの既約性判定法を素数 $p=2$ に対して適用する。定数項 $2$ は $2$ で割り切れ $4$ で割り切れない。$1$ 次の係数 $-16$ は $2$ で割り切れる。$X^2, X^3, X^4$ の係数は $0$ であり $2$ で割り切れる。最高次の係数 $1$ は $2$ で割り切れない。したがって、$g(X)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

導関数は $g'(X) = 5X^4-16$ である。$g'(X) = 0$ を解くと、$X^4 = 16/5$ より $X = \pm 2 / \sqrt[4]{5}$ を得る。$\alpha = 2 / \sqrt[4]{5}$ とおく。ここで、$1 < 5 < 16$ より $1 < \sqrt[4]{5} < 2$ であるから、$1 < \alpha < 2$ が成り立つ。

$g(X)$ の極値の符号を評価する。極大値は $g(-\alpha) = -\alpha^5 + 16\alpha + 2$ である。$\alpha^4 = 16/5$ を用いると、$g(-\alpha) = -\alpha(16/5) + 16\alpha + 2 = \frac{64}{5}\alpha + 2 > 0$ となる。 極小値は $g(\alpha) = \alpha^5 - 16\alpha + 2 = \alpha(16/5) - 16\alpha + 2 = -\frac{64}{5}\alpha + 2$ である。$\alpha > 1$ であるから、$-\frac{64}{5}\alpha + 2 < -\frac{64}{5} + 2 = -10.8 < 0$ となる。

$\lim_{X \to -\infty} g(X) = -\infty$ および $\lim_{X \to \infty} g(X) = \infty$ であることと、極大値が正、極小値が負であることから、中間値の定理により $g(X)$ は区間 $(-\infty, -\alpha)$、$(-\alpha, \alpha)$、$(\alpha, \infty)$ においてそれぞれ $1$ つずつ、合計 $3$ つの実根をもつ。

$g(X)$ の次数は素数 $5$ であり、実根をちょうど $5-2=3$ 個もつため、残りの $2$ 根は虚根である。補題 2.1 より、$g(X)$ のガロア群は $S_5$ に同型である。

証明

Eisensteinの既約性判定条件を素数 $p=2$ に対して適用する。定数項 $2$ は $2$ で割り切れ $4$ で割り切れない。$1$ 次の係数 $-4$ と $X^2, X^3, X^4$ の係数 $0$ はすべて $2$ で割り切れる。最高次係数 $1$ は $2$ で割り切れない。したがって、$f(X)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

導関数は $f'(X) = 5X^4 - 4$ である。$f'(X) = 0$ を解くと、$X = \pm \sqrt[4]{4/5}$ となる。$\alpha = \sqrt[4]{4/5}$ とおく。$4/5 < 1$ であるから $0 < \alpha < 1$ である。

極大値は $X = -\alpha$ のときであり、$f(-\alpha) = -\alpha^5 + 4\alpha + 2 = \alpha(4 - \alpha^4) + 2$ となる。$\alpha > 0$ かつ $4 - \alpha^4 = 4 - 4/5 = 16/5 > 0$ であるため、極大値 $f(-\alpha) > 0$ である。 極小値は $X = \alpha$ のときであり、$f(\alpha) = \alpha^5 - 4\alpha + 2 = \alpha(4/5 - 4) + 2 = -3.2\alpha + 2$ となる。ここで $\alpha = (0.8)^{0.25} > 0.8$ であるから（厳密には $0.8^4 = 0.4096 < 0.8$）、$f(\alpha) < -3.2(0.8) + 2 = -2.56 + 2 = -0.56 < 0$ である。

極大値が正、極小値が負であるため、同様に $f(X)$ はちょうど $3$ つの実根をもつ。次数 $5$ は素数であり、実根をちょうど $5-2=3$ 個もつため、補題 2.1 により、そのガロア群は $S_5$ となる。

証明

まず $f(X)$ の次数を確認する。積の部分 $\prod_{k=1}^{p-3} (X-2k)$ には $X$ の $1$ 次式が $p-3$ 個掛け合わされている。これに $X^3$ を掛けるため、$f(X)$ の次数は $3 + (p-3) = p$ である。したがって $f(X)$ は $p$ 次多項式である。

[既約性の証明]
$f(X)$ を展開して $f(X) = X^p + a_{p-1}X^{p-1} + \dots + a_1X + a_0$ とおく。 定数項 $a_0$ は $-2$ である。 元の形から、$X^3$ が全体に掛けられているため、$a_1 = a_2 = 0$ である。 $k \ge 3$ に対する係数 $a_k$ は、$X^3 \prod_{k=1}^{p-3} (X-2k)$ を展開した際の $X^k$ の係数である。この積の各因子 $(X-2k)$ の定数項部分はすべて偶数であるため、展開して得られる係数 $a_3, \dots, a_{p-1}$ はすべて $2$ の倍数となる。最高次 $X^p$ の係数は $1$ である。 以上より、$f(X)$ は定数項が $2$ の倍数かつ $4$ の倍数ではなく、最高次以外のすべての係数が $2$ の倍数である。アイゼンシュタインの既約性判定法により、$f(X)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

[実根の個数の証明]
$g(X) = X^3 \prod_{k=1}^{p-3} (X-2k)$ とおくと、$f(X) = 0$ は $g(X) = 2$ と同値である。 $g(X)$ の実根は、$0$（$3$ 重根）および $2, 4, \dots, 2(p-3)$（すべて単根）である。 区間 $(0, 2)$ および $(2k, 2k+2)$ ($k=1, \dots, p-4$) のそれぞれにおいて、$g(X)$ は両端点で $0$ となる。ロルの定理 (Rolle's theorem) より、各区間の内部に導関数 $g'(X) = 0$ となる点が少なくとも $1$ つ存在する。 そのような区間は全部で $p-3$ 個あるため、$g'(X) = 0$ となる相異なる正の実根が少なくとも $p-3$ 個存在する。また、$0$ は $g(X)$ の $3$ 重根であるから、$0$ は $g'(X) = 0$ の $2$ 重根である。 $g'(X)$ は $p-1$ 次多項式であるから、これらで $g'(X) = 0$ の $(p-3)+2 = p-1$ 個の根がすべて実数として見つかったことになる。すなわち、極値をとる点はすべて実数である。

極値をとる正の点を小さい順に $y_0, y_1, \dots, y_{p-4}$ とおく。$y_0 \in (0, 2)$ であり、$y_k \in (2k, 2k+2)$ である。 $g(X)$ のグラフはこれらの区間で符号を交互に変える。特に、$X$ 軸の正の部分で極大となるのは、$g(X)$ が正の値をとる区間 $(2i, 2i+2)$ （$i$ は奇数）においてである。 極大値が $2$ よりも大きいことを示す。区間 $(2i, 2i+2)$ 内の整数点 $X = 2i+1$ における $g(X)$ の値を評価する。 $$g(2i+1) = (2i+1)^3 \prod_{k=1}^{p-3} (2i+1-2k)$$ この値は正の整数たちの積であり、特に最初の因子は $(2i+1)^3 \ge 3^3 = 27$ である。他の因子もすべて奇数の整数であるから絶対値は $1$ 以上である。したがって、$g(2i+1) \ge 27 > 2$ となる。極大値はこの値以上であるから、すべての正の極大値は $2$ よりも大きい。

一方、極小値をとる区間では $g(X) < 0 < 2$ である。 したがって、$g(X) = 2$ は、隣り合う極小値と極大値の間にちょうど $1$ つの解をもつ。 $X \le 0$ においては、項 $X^3 \le 0$ であり、他の $(X-2k)$ の項はすべて負である。負の因子の数は $p-3$ 個であり、$p$ が奇素数であることから偶数個である。ゆえに $X < 0$ のとき $\prod (X-2k) > 0$ となり、$g(X) < 0$ となる。したがって $X \le 0$ に解はない。

区間 $(0, 2)$ での極小値 $g(y_0)$ は負であり、次の極大値 $g(y_1)$ は $2$ より大きい。この間に解が $1$ つある。 最後の極小値 $g(y_{p-4}) < 0$ の右側では、$g(X)$ は単調増加して $\infty$ に向かうため、そこにも解が $1$ つある。 解が一つずつ存在する区間は、全部で「極値の個数 $p-3$」から「両端の状況」を考慮してちょうど $p-2$ 個となる。 したがって、$f(X)$ はちょうど $p-2$ 個の実根をもつ。補題 2.1 によりそのガロア群は $S_p$ となる。

証明

$f$ のガロア群を $G = \mathrm{Gal}(f)$ とおく。$f$ のすべての根がベキ根による表示をもつという仮定は、方程式 $f(X) = 0$ が代数的に可解であることを意味する。基礎体 $K$ の標数が $0$ であるから、可解性の基本定理により、ガロア群 $G$ は可解群 (solvable group) である。また、$f$ は既約多項式であるから、$G$ は $f$ の $p$ 個の根からなる集合 $\Omega$ の上に推移的に作用する。

$G$ は可解群であるから、自明でないアーベル正規部分群 $N \subset G$ をもつ。 $N$ は $\Omega$ 上に作用する。$N$ は $G$ の正規部分群であり、$G$ が推移的であることから、$N$ のすべての軌道は同じ長さをもつ。その長さを $d$ とすると、$d$ は $|\Omega| = p$ を割り切る。$p$ は素数であるから、$d = 1$ または $d = p$ である。 もし $d = 1$ ならば、$N$ は $\Omega$ の各点を固定することになり、忠実な作用から $N$ は自明群 $\{ \mathrm{id} \}$ となってしまう。これは $N$ が自明でないことに矛盾する。 したがって $d = p$ であり、$N$ 自身が $\Omega$ 上に推移的に作用する。

アーベル群が推移的に作用する場合、その作用は正則 (regular) である（すなわち、各点の安定化部分群が自明となる）。これにより、$N$ の位数は $|\Omega| = p$ に等しい。位数 $p$ の群は巡回群であるから、$N \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \cong \mathbb{F}_p$（加法群）となる。 $\Omega$ の要素を $\mathbb{F}_p$ の要素と同一視し、$N$ の作用を $\mathbb{F}_p$ 上の平行移動 $\tau_b: x \mapsto x + b$ ($b \in \mathbb{F}_p$) と見なすことができる。

任意の $\sigma \in G$ は正規部分群 $N$ を自身に写す。すなわち、任意の平行移動 $\tau_b$ に対して、$\sigma \tau_b \sigma^{-1} \in N$ となる。 これは、$\sigma \tau_b \sigma^{-1} = \tau_c$ となる $c \in \mathbb{F}_p$ が存在することを意味する。この対応 $b \mapsto c$ は $\mathbb{F}_p$ の自己同型であるから、ある $a \in \mathbb{F}_p^\times$ が存在して $c = ab$ と書ける。

したがって、任意の $x \in \mathbb{F}_p$ に対して、 $$\sigma(x+b) = \sigma(\tau_b(x)) = \tau_{ab}(\sigma(x)) = \sigma(x) + ab$$ が成り立つ。ここで $x = 0$ とおき、$\sigma(0) = d$ とおくと、 $$\sigma(b) = \sigma(0) + ab = ab + d$$ となる。これは、$\sigma$ が $\mathbb{F}_p$ 上のアフィン変換 $b \mapsto ab + d$ として作用していることを示している。

よって、$G$ は $\mathbb{F}_p$ 上のアフィン変換群の部分群に同型である。アフィン変換群は行列を用いて $$ \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Biggm| a \in \mathbb{F}_p^\times, b \in \mathbb{F}_p \right\} $$ と表される。$G$ は平行移動全体 $N$ を含むため、$b$ は $\mathbb{F}_p$ 全体を動く。一方、$a$ の取り得る値の集合を $H$ とすると、$H$ は乗法群 $\mathbb{F}_p^\times$ の部分群となる。

証明

$L = \mathbb{Q}_f$ を $f$ の最小分解体とし、$G = \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ をそのガロア群とする。$O_L$ を $L$ の代数的整数環とする。 $f$ の根 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ はすべて代数的整数であるから、$O_L$ に属する。 素数 $p$ が生成するイデアル $p O_L$ の素イデアル分解を $p O_L = \mathfrak{P}_1 \dots \mathfrak{P}_g$ とする。一つ素イデアルを固定し、$\mathfrak{P} = \mathfrak{P}_1$ とおく。

分解群を $D_\mathfrak{P} = \{ \sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak{P}) = \mathfrak{P} \}$ とする。 剰余体 $k_\mathfrak{P} = O_L/\mathfrak{P}$ を考える。$\sigma \in D_\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{P}$ を不変に保つため、任意の $x \in O_L$ について、$\bar{x} = x \pmod{\mathfrak{P}}$ とするとき、$\sigma$ は $k_\mathfrak{P}$ 上の自己同型 $\bar{\sigma}$ を $\bar{\sigma}(\bar{x}) = \overline{\sigma(x)}$ によって well-defined に引き起こす。 これにより、自然な群準同型写像 $\phi \colon D_\mathfrak{P} \to \mathrm{Gal}(k_\mathfrak{P}/\mathbb{F}_p)$ が $\phi(\sigma) = \bar{\sigma}$ として定義される。 この $\phi$ が同型写像であることを示す。

(1) $\phi$ の単射性の証明

$\sigma \in \mathrm{Ker}(\phi)$ を任意にとる。これは $\phi(\sigma)$ が恒等写像であり、任意の $x \in O_L$ に対して $\sigma(x) \equiv x \pmod{\mathfrak{P}}$ が成り立つことを意味する。 根 $\alpha_i$ ($1 \le i \le n$) に対しても $\sigma(\alpha_i) \equiv \alpha_i \pmod{\mathfrak{P}}$ となる。一方、$\sigma$ は根を置換するため、ある $j$ が存在して $\sigma(\alpha_i) = \alpha_j$ となる。すなわち $\alpha_j \equiv \alpha_i \pmod{\mathfrak{P}}$ であり、$\alpha_j - \alpha_i \in \mathfrak{P}$ となる。

仮に $i \neq j$ と仮定する。$f$ の判別式 $D(f) = \prod_{k < l} (\alpha_k - \alpha_l)^2$ は、因子として $(\alpha_i - \alpha_j)^2$ を含むため、$O_L$ において $\alpha_j - \alpha_i$ の倍数である。ゆえに $D(f) \in \mathfrak{P}$ である。 $D(f)$ は $\mathbb{Z}$ の元であるから、$D(f) \in \mathfrak{P} \cap \mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$ となり、$D(f)$ は $p$ の倍数となる。 これは還元された多項式 $\bar{f}$ の判別式 $D(\bar{f})$ が $\mathbb{F}_p$ で $0$ になることを意味し、$\bar{f}$ が重根をもつことになる。しかし仮定より $\bar{f}$ は分離的であるため矛盾である。 したがって $i = j$ であり、すべての $i$ に対して $\sigma(\alpha_i) = \alpha_i$ となる。$L$ は $\alpha_i$ たちで生成されるため、$\sigma = \mathrm{id}$ となり、単射性が示された。

(2) ガロア群の推移的な作用（補題）

全射性を示す準備として、$G$ が素イデアルの集合 $\{ \mathfrak{P}_1, \dots, \mathfrak{P}_g \}$ の上に推移的に作用することを確認する。 ある $\mathfrak{P}_k$ が軌道に含まれないと仮定する。中国の剰余定理 (Chinese remainder theorem) により、$x \equiv 0 \pmod{\mathfrak{P}_k}$ かつ任意の $\sigma \in G$ に対して $x \equiv 1 \pmod{\sigma(\mathfrak{P}_1)}$ を満たす $x \in O_L$ が存在する。 ノルム $N_{L/\mathbb{Q}}(x) = \prod_{\sigma \in G} \sigma(x)$ を考えると、$x \in \mathfrak{P}_k$ より $N_{L/\mathbb{Q}}(x) \in \mathfrak{P}_k \cap \mathbb{Z} = p\mathbb{Z} \subset \mathfrak{P}_1$ である。 $\mathfrak{P}_1$ は素イデアルであるから、ある $\tau \in G$ について $\tau(x) \in \mathfrak{P}_1$、すなわち $x \in \tau^{-1}(\mathfrak{P}_1)$ となる。しかし構成条件より $x \equiv 1 \pmod{\tau^{-1}(\mathfrak{P}_1)}$ であるため矛盾である。よって作用は推移的である。

(3) $\phi$ の全射性の証明

$k_\mathfrak{P}$ は $\mathbb{F}_p$ の有限次分離拡大であるから、原始元定理より $k_\mathfrak{P} = \mathbb{F}_p(\bar{\alpha})$ となる原始元 $\bar{\alpha} \neq \bar{0}$ がとれる。 中国の剰余定理により、$\alpha \equiv \bar{\alpha} \pmod{\mathfrak{P}_1}$ かつ $i \ge 2$ に対して $\alpha \equiv 0 \pmod{\mathfrak{P}_i}$ を満たす $\alpha \in O_L$ を選ぶ。

多項式 $h(X) = \prod_{\sigma \in G} (X - \sigma(\alpha))$ を考える。$h(X) \in \mathbb{Z}[X]$ であり、法 $p$ での還元を $\bar{h}(X) \in \mathbb{F}_p[X]$ とおく。$\bar{h}(\bar{\alpha}) = 0$ であるから、$\bar{\alpha}$ の最小多項式 $m(X)$ は $\bar{h}(X)$ を割り切る。

$\mathrm{Gal}(k_\mathfrak{P}/\mathbb{F}_p)$ の任意の元 $\bar{\tau}$ をとる。$\bar{\tau}(\bar{\alpha})$ も $m(X)$ の根であるため、$\bar{h}(X)$ の根となる。すなわち、ある $\sigma \in G$ が存在して $\overline{\sigma(\alpha)} = \bar{\tau}(\bar{\alpha})$ が成り立つ。

もし $\sigma \notin D_\mathfrak{P}$ ならば、$\sigma^{-1}(\mathfrak{P}_1) = \mathfrak{P}_i$ ($i \ge 2$) となる（推移性より）。$\alpha$ の構成から $\alpha \in \sigma^{-1}(\mathfrak{P}_1)$、すなわち $\sigma(\alpha) \in \mathfrak{P}_1$ となり、$\overline{\sigma(\alpha)} = \bar{0}$ を得る。 しかし $\bar{\tau}$ は同型であり $\bar{\alpha} \neq \bar{0}$ なので $\bar{\tau}(\bar{\alpha}) \neq \bar{0}$ となり矛盾する。よって $\sigma \in D_\mathfrak{P}$ である。

$\sigma \in D_\mathfrak{P}$ であるため $\phi(\sigma)$ が定義でき、$\phi(\sigma)(\bar{\alpha}) = \overline{\sigma(\alpha)} = \bar{\tau}(\bar{\alpha})$ となる。生成元の上で一致するため $k_\mathfrak{P}$ 全体で $\phi(\sigma) = \bar{\tau}$ となり、全射性が示された。

以上より $D_\mathfrak{P} \cong \mathrm{Gal}(k_\mathfrak{P}/\mathbb{F}_p)$ である。また $O_L$ が $f$ の根を含むため、$k_\mathfrak{P}$ は $\bar{f}$ の最小分解体と一致し、$\mathrm{Gal}((\mathbb{F}_p)_{\bar{f}}/\mathbb{F}_p) \cong D_\mathfrak{P} \subset G$ と見なせる。